Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=xln（x-1）-a（x-2）．
（Ⅰ）若a=2017，求曲線f（x）在x=2處的切線方程；
（Ⅱ）若當(dāng)x≥2時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（2），f′（2），求出切線方程即可；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=ln（x-1）-$\frac{a（x-2）}{x}$，（x≥2），于是問題轉(zhuǎn)化為g（x）≥0對任意的x≥2恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2017時，f（x）=xln（x-1）-2017（x-2），
則f′（x）=ln（x-1）+$\frac{x}{x-1}$-2017，故f′（2）=-2015，
又f（2）=0，
故切線方程是：y-0=-2015（x-2），
即2015x+y-4030=0；
（Ⅱ）由f（x）≥0得xln（x-1）-a（x-2）≥0，而x≥2，
故ln（x-1）-$\frac{a（x-2）}{x}$≥0，
設(shè)函數(shù)g（x）=ln（x-1）-$\frac{a（x-2）}{x}$，（x≥2），
于是問題轉(zhuǎn)化為g（x）≥0對任意的x≥2恒成立，
注意到g（2）=0，故若g′（x）≥0，則g（x）遞增，
從而g（x）≥g（2）=0，而g′（x）=$\frac{{x}^{2}-2a（x-1）}{（x-1{）x}^{2}}$，
∴g′（x）≥0等價于x²-2a（x-1）≥0，
分離參數(shù)得a≤$\frac{{x}^{2}}{2（x-1）}$=$\frac{1}{2}$[（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2]，
由均值不等式得$\frac{1}{2}$[（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2]≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取“=”成立，于是a≤2，
當(dāng)a＞2時，設(shè)h（x）=x²-2a（x-1），
∵h（2）=4-2a=2（2-a）＞0，
又拋物線h（x）=x²-2a（x-1）開口向上，
故h（x）=x²-2a（x-1）有2個零點，
設(shè)兩個零點為x₁，x₂，則x₁＜2＜x₂，
于是x∈（2，x₂）時，h（x）＜0，故g′（x）＜0，g（x）遞減，
故g（x）＜g（2）=0，與題設(shè)矛盾，不合題意，
綜上，a的范圍是（-∞，2]．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．