Question

16．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，E為PD上異于P，D的一點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)平面ABE與PC交于點(diǎn)F，求證EF∥CD；
（Ⅱ）若AD=AB=1，BC=$\sqrt{2}$，tan∠BPC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB∥CD，利用線面平行的判定定理得到AB∥平面PDC，再由線面平行的性質(zhì)得到AB∥EF，由平行公理得到EF∥CD；
（Ⅱ）由已知求出BC長，進(jìn)一步證明△PBC為直角三角形，求得PB，得到PD，然后求出底面直角梯形的面積，代入棱錐體積公式得答案．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，∵AB∥CD，CD?面PDC，AB?面PDC，
∴AB∥平面PDC，
又平面ABE∩平面PDC=EF，
∴AB∥EF，則EF∥CD；
（Ⅱ）解：由AD⊥CD，AB∥CD，AD=AB=1，BC=$\sqrt{2}$，
可得BD=$\sqrt{2}$，CD=2，
∴BC⊥BD，
又PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
∴BC⊥平面PBD，則BC⊥PB．
∵tan∠BPC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴PB=$\sqrt{3}$，則PD=1，
又${S}_{四邊形ABCD}=\frac{1}{2}（1+2）×1=\frac{3}{2}$，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×1=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．