Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，AA₁=5，
E、F分別為D₁D、B₁B上的點(diǎn)，且DE=B₁F=1．
（Ⅰ）求證：BE⊥平面ACF；
（Ⅱ）求點(diǎn)E到平面ACF的距離．

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），
C（0，2，0），D₁（0，0，5），E（0，0，1），F(xiàn)（2，2，4）
∴=（-2，2，0），=（0，2，4），
=（-2，-2，1），=（-2，0，1）．
∴
∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF=A
∴BE⊥平面ACF
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，為平面ACF的一個(gè)法向量
∴向量在上的射影長(zhǎng)即為E到平面ACF的距離，設(shè)為d
于是 d==
故點(diǎn)E到平面ACF的距離
分析：（I）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，要證明線與面垂直，只要證明這條直線與平面上的兩條直線垂直．
（II）為平面ACF的一個(gè)法向量，向量在上的射影長(zhǎng)即為E到平面ACF的距離，根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式得到結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)立體幾何的綜合題目，題目的第一問(wèn)，用空間向量來(lái)證明，實(shí)際上若不是為了后一問(wèn)應(yīng)用方便，可以采用幾何法來(lái)證明．