Question

（2009•宜昌模擬）如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AB=BC=1，AA₁=2．過(guò)頂點(diǎn)D₁在空間作直線l，使l與直線AC和BC₁所成的角都等于60°，這樣的直線l最多可作（　　）

A．1條

B．2條

C．3條

D．4 條

Answer 1

分析：連結(jié)AD₁ 、D₁ C，由正四棱柱的性質(zhì)和余弦定理算出cos∠D₁ AC=

1

10

＜

1

2

，可得AC和BC₁ 所成的角α大于60°小于90°．將l、AC、BC₁ 平移到l'、A'C'、B'C₁'，并l'、A'C'、B'C₁'過(guò)同一點(diǎn)M，由∠B'MA'的平分線與A'C'、B'C₁'成的角均小于60°，再過(guò)角平分線作輔助平面γ垂直于與A'C'、B'C₁'所在的平面，讓l'繞著點(diǎn)M在平面γ內(nèi)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，加以觀察可得符合條件的直線有2條．同理得到∠B'MC'的平分線方向上也有2條符合題意的直線，這樣滿足條件的直線一共有4條．

解答：解：正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，連結(jié)AD₁ 、D₁ C，則AD₁ ∥BC₁ ．
在△AD₁ C中，易得AD₁ =CD₁ =

5

，AC=

2

，
∴cos∠D₁ AC=

5+2-5

2× 5 × 2

=

1

10

＜

1

2

，
從而AC和BC₁ 所成的角α大于60°小于90°．
空間中過(guò)不同的定點(diǎn)作直線與已知直線成一定條件的角的直線條數(shù)相等，
因此可作l、AC、BC₁ 的平行線l'、A'C'、B'C₁'，
讓l'、A'C'、B'C₁'過(guò)同一點(diǎn)M．
①∠B'MA'=180°-α，同一平面內(nèi)角∠B'MA'的平分線正好與A'C'、B'C₁'
成的角均為

180°-α

2

＜60°．
過(guò)此時(shí)的角平分線作平面γ，使γ垂直于與A'C'、B'C₁'所在的平面，
當(dāng)l'繞著點(diǎn)M在平面γ內(nèi)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，
l'與A'C'、B'C₁'所成的角由

180°-α

2

增大到90°，
再由90°減小到

180°-α

2

（還原），符合條件的直線有2條．
②∠B'MC'=α∈（60°，90°），
同一平面內(nèi)角∠B'MC'的平分線與A'C'、B'C₁'成的角均為

α

2

＜60°．
過(guò)此時(shí)的角平分線作平面β，使β垂直于A'C'、B'C₁'所在的平面，
當(dāng)l'繞著點(diǎn)M在平面β內(nèi)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，l'與A'C'、B'C₁'
所成的角由

α

2

增大到90°，再由90°減小到

α

2

（還原），
符合條件的直線也有2條．
因此，可得符合條件的直線共有4條．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出正四棱柱，求過(guò)頂點(diǎn)D₁滿足與直線AC和BC₁所成的角都等于60°的直線l的條數(shù)．著重考查了正四棱柱的性質(zhì)、空間兩條直線所成角的定義及其應(yīng)用的知識(shí)，屬于中檔題．