Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意x₁，x₂∈D，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，都有f（x₁）≤f（x₂），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：①f（0）=0；②f(

x

3

)=

1

2

f(x)；③f（1-x）=1-f（x），則f(

1

8

)=

 

．

Answer 1

分析：由f（0）=0，結(jié)合f（1-x）+f（x）=1，分別取x=1和

1

2

即可求f（1）和f（

1

2

），在f(

x

3

)=

1

2

f(x)中分別取x=1和

1

2

和

1

3

可求f（

1

3

），f（

1

6

），f（

1

9

）的值，結(jié)合非減函數(shù)的概念可求f（

1

8

）的值．

解答：解：由f（0）=0，f（1-x）=1-f（x），
令x=1，所以有f（1）=1，
令x=

1

2

，所以有f（

1

2

）=

1

2

，
由f(

x

3

)=

1

2

f(x)，令x=1，有f（

1

3

）=

1

2

f（1）=

1

2

，
令x=

1

2

，有f（

1

6

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，
令x=

1

3

，有f（

1

9

）=

1

2

f（

1

3

）=

1

4

，
由非減函數(shù)性質(zhì)：x₁＜x₂時(shí)，都有f（x₁）≤f（x₂），
∵

1

9

＜

1

8

＜

1

7

＜

1

6

，
∴f（

1

9

）≤f（

1

8

）≤f（

1

7

）≤f（

1

6

），
而f（

1

9

）=

1

4

=f（

1

6

），
所以有f（

1

7

）=f（

1

8

）=

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的求值問(wèn)題．解決抽象函數(shù)的函數(shù)值的問(wèn)題一般會(huì)利用賦值法求解．解題的關(guān)鍵是如何選擇合適的值進(jìn)行賦值，進(jìn)行轉(zhuǎn)換求解函數(shù)的值．屬于中檔題．