Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的中心在原點O，右焦點F在x軸上，橢圓與y軸交于A、B兩點，其右準線l與x軸交于T點，直線BF交于橢圓于C點，P為橢圓上弧AC上的一點．
（1）求證：A，C，T三點共線；
（2）如果=3，四邊形APCB的面積最大值為，求此時橢圓的方程和P點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓方程為，求出直線AT，BF的交點，驗證交點在橢圓上，從而可知A，C，T三點共線；
（2）過C作CE⊥x軸，垂足為E，△OBF∽△ECF，求得C的坐標，代入橢圓方程可得a²=2c²，b²=c²
設P（x，y），可求，，又可求=，要求四邊形APCB的面積最大值，只要求x+2y的最大值，從而可求橢圓方程，P的坐標．
解答：（1）證明：設橢圓方程為①
∴
∴②；③
解得交點C，，代入①得
滿足①式，∴C在橢圓上，A，C，T三點共線；
（2）解：過C作CE⊥x軸，垂足為E，△OBF∽△ECF
∵=3，
∴CE=
∴
代入①得
∴a²=2c²，b²=c²
設P（x，y），∴
∵
∴，
直線AC的方程為：x+2y-2c=0
P到直線AC的距離為=
=
要求四邊形APCB的面積最大值，只要求x+2y的最大值
∵
∴
當且僅當時，x+2y的最大值為
∴四邊形APCB的面積最大值為
∴c²=1，a²=2，b²=1
∴橢圓方程為，P的坐標為．
點評：本題以直線與橢圓的位置關系為載體，考查直線的交點，考查三角形面積的計算，考查三角形面積最大值的計算，綜合性強．