Question

8．已知函數(shù)f（x）=a（x-1）（e^x-a），（常數(shù)a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）若函f（x）在（0，f（0））處的切線與直線y=-4x+1平行，求a的值；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈[1，+∞）都有f（x）≥x²-x，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件，解方程可得a的值；
（Ⅱ）由題意可得a（e^x-a）≥x在x∈（1，+∞）上恒成立，令g（x）=a（e^x-a）-x，求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，a＜0，a＞0，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）依題意，f′（x）=a（xe^x-a），
∵f（x）在（0，f（0））處切線與直線y=-4x+1，
∴f′（0）=-a²=-4，解得：a=±2．                                     
（Ⅱ）依題意，“對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）≥x²-x”
等價(jià)于“a（e^x-a）≥x在x∈（1，+∞）上恒成立”．
令g（x）=a（e^x-a）-x，則g'（x）=ae^x-1．                     
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，g'（x）＜0，g（x）=a（e^x-a）-x在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞減，
又g（1）=a（e-a）-1=ea-a²-1＜0，不合題意，舍去．        
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，g'（x）=ae^x-1=0得x=ln$\frac{1}{a}$，

	（-∞，ln$\frac{1}{a}$）	（ln$\frac{1}{a}$，+∞）
g'（x）	-	+
g（x）	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

①當(dāng)ln$\frac{1}{a}$≤1，即a≥$\frac{1}{e}$時(shí)，g（x）=a（e^x-a）-x在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，
得g（x）_min=g（1），
由a（e^x-a）-x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，得g（1）≥0，
即$\frac{e-\sqrt{{e}^{2}-4}}{2}$≤a≤$\frac{e+\sqrt{{e}^{2}-4}}{2}$，
又a≥$\frac{1}{e}$，得 $\frac{e-\sqrt{{e}^{2}-4}}{2}$≤a≤$\frac{e+\sqrt{{e}^{2}-4}}{2}$；
②當(dāng)ln$\frac{1}{a}$＞1，即0＜a＜$\frac{1}{e}$時(shí)，由上表可知g（x）_min=g（ln$\frac{1}{a}$），
由a（e^x-a）-x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，得g（ln$\frac{1}{a}$）≥0，即1+lna-a²≥0．
令h（a）=1+lna-a²，則h（a）=$\frac{1}{a}$-2a=$\frac{1-{2a}^{2}}{a}$，
由h（a）=0得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），

	（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）	（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）
h'（a）	+	-
h（a）	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減

由上表可知h（a）=1+lna-a²在0＜a＜$\frac{1}{e}$上單調(diào)遞增，
則h（a）＜h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$＜0，故不等式h（a）=1+lna-a²≥0無解．
綜上所述，$\frac{e-\sqrt{{e}^{2}-4}}{2}$≤a≤$\frac{e+\sqrt{{e}^{2}-4}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．