Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a、b∈R），且集合A={x|x=f（x）}，B={x|x=f[f（x）]}．
（1）求證：A⊆B；
（2）當(dāng)A={-1，3}時，用列舉法表示B．

Answer 1

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,集合的表示法

專題：綜合題,集合

分析：（1）若x∈A，則x=f（x）成立，則f[f（x）]=f（x）=x必成立，進(jìn)而根據(jù)集合包含關(guān)系的定義，得到結(jié)論；
（2）由A={x|f（x）=x}={x|x²+ax+b=x}={x|x²+（a-1）x+b=0}={-1，3}，結(jié)合方程根與系數(shù)關(guān)系可求a，b，進(jìn)而可求，f（x），然后代入B={x|f[f（x）]=x}整理可求．

解答： （1）證明：若x∈A，則x=f（x）成立，
則f[f（x）]=f（x）=x必成立，即x∈B，
故A⊆B；
（2）解：∵A={x|f（x）=x}={x|x²+ax+b=x}={x|x²+（a-1）x+b=0}={-1，3}
∴-1，3是方程x²+（a-1）x+b=0的根
∴

1-a=2 b=-3

，即a=-1，b=-3，
∴f（x）=x²-x-3
∴B={x|f[f（x）]=x}={x|f（x²-x-3）=x}={x|（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x}
化簡可得，（x²-x-3）²-x²=0
∴（x²-3）（x²-2x-3）=0
∴x=

3

或x=-

3

或x=3或x=-1
∴B={

3

，-

3

，-1，3}．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)與二次方程之間關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用．