Question

5．若不等式a≤$\frac{1-x}{x}$+1nx對(duì)于任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，ln2-$\frac{1}{2}$]
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，ln2-$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由題意設(shè)f（x）=$\frac{1-x}{x}$+1nx，x∈[$\frac{1}{2}$，2]．利用導(dǎo)數(shù)求其最小值得答案．

解答 解：設(shè)f（x）=$\frac{1-x}{x}$+1nx=$\frac{1}{x}+lnx-1$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]．
則f′（x）=$-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1．
則f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增．
∴f（x）_min=f（1）=1+lni-1=0．
∵不等式a≤$\frac{1-x}{x}$+1nx對(duì)于任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
∴a≤f（x）_min=0．
即a≤0．
∴a的取值范圍是（-∞，0]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是中檔題．