Question

15．以下命題正確的個數(shù)為（　　）
①若“p且q”與“?p或q”均為假命題，則p真q假；
②“a＞0”是“函數(shù)f（x）=|（ax-1）x|在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減”的充要條件；
③函數(shù)f（x）=3ax+1-2a在（-1，1）上存在x₀，使得f（x₀）=0，則a的取值范圍是a＜-1或$a＞\frac{1}{5}$；
 ④若向量$\overrightarrow a=（{-1，2，3}），\overrightarrow b=（{2，m，-6}）$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為鈍角，則m＜10．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)“p且q”與“?p或q”均為假命題，結(jié)合復(fù)合命題的真值表，易判斷命題p與q的真假，根據(jù)原命題與其否定之間的關(guān)系，即得答案；
②根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可；
③由零點存在性定理，通過f（-1）•f（1）＜0，即可得出結(jié)論；
④由題意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＜0且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不共線，解不等式排除共線的情形即可．

解答 解：對于①，若“p且q”為假命題，則p與q存在假命題，
又“?p或q”為假命題，則?p與q均為假命題，故p真q假，命題①正確；
對于②，如圖所示，當a＞0時，f（x）=|ax²-x|=|a（x²-x）|=|a（x-$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$|，
則函數(shù)f（x）的對稱軸為x=$\frac{1}{2a}$＞0，
又f（x）=|ax²-x|=|ax（x-$\frac{1}{a}$）|=0得兩個根分別為x=0或x=$\frac{1}{a}$＞0，
∴函數(shù)f（x）=|ax²-x|在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，充分性成立；
當a=0時，函數(shù)f（x）=|ax²-x|=|x|，滿足在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減”，必要性不成立；
∴“a＞0”是“函數(shù)f（x）=|（ax-1）x|在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減”的充分不必要條件，命題②錯誤；
對于③，函數(shù)f（x）=3ax+1-2a在（-1，1）上存在x₀，使f（x₀）=0，
由零點存在性定理，可知f（-1）•f（1）＜0，即（-3a+1-2a）•（3a+1-2a）＜0；
解得a＜-1或a＞$\frac{1}{5}$，命題③正確；
 ④若向量$\overrightarrow a=（{-1，2，3}），\overrightarrow b=（{2，m，-6}）$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為鈍角，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＜0且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不共線，由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＜0可得-2+2m-18＜0，
解得m＜10，
當$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線時，$\frac{-1}{2}$=$\frac{2}{m}$=$\frac{3}{-6}$，可得m=-4，
∴實數(shù)m的取值范圍為：m＜10且m≠-4，命題④錯誤．
綜上，正確的命題序號是①③．
故選：B．

點評 本題考查了復(fù)合命題與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)零點的定義以及空間向量的應(yīng)用問題，是綜合性題目．