分析 (Ⅰ)由已知數(shù)列遞推式可得${S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$(n≥2),整理后即可證明$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$是等差數(shù)列,求其通項公式后可得Sn的表達式;
(Ⅱ)構造函數(shù)f(n)=$\frac{(1+{S}_{1})(1+{S}_{2})…(1+{S}_{n})}{\sqrt{2n+1}}$,作商說明是增函數(shù),求其最小值可得滿足(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)≥k$\sqrt{2n+1}$的k的最大值.
解答 (Ⅰ)證明:∵n≥2時,an=Sn-Sn-1,
∴由an=$\frac{2S_n^2}{{2{S_n}-1}}({n≥2})$,得${S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$,即Sn-1-Sn=2Sn•Sn-1,
由題意Sn≠0(n≥2),∴$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=2$(n≥2),
又S1=a1=1,∴$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$是以1為首項,以2為公差的等差數(shù)列,
則$\frac{1}{{S}_{n}}=1+2(n-1)=2n-1$,則${S}_{n}=\frac{1}{2n-1}$;
(Ⅱ)解:設f(n)=$\frac{(1+{S}_{1})(1+{S}_{2})…(1+{S}_{n})}{\sqrt{2n+1}}$,
則$\frac{f(n+1)}{f(n)}=\frac{(1+{S}_{n+1})\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n+3}}=\frac{2n+2}{\sqrt{2n+1}\sqrt{2n+3}}$=$\frac{\sqrt{4{n}^{2}+8n+4}}{\sqrt{4{n}^{2}+8n+3}}$>1.
故f(n)在n∈N*上遞增,故使f(n)≥k恒成立,只需k≤f(n)min,
又$f(n)_{min}=f(1)=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,∴k的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
點評 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等差關系的確定,訓練了恒成立問題的求解方法,是中檔題.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | (-∞,$\frac{1}{4}$) | B. | (0,$\frac{1}{2}$) | C. | (0,$\frac{1}{4}$) | D. | ($\frac{1}{2}$,+∞) |
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