10.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,an=$\frac{2S_n^2}{{2{S_n}-1}}({n≥2})$.
(Ⅰ)求證:$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$是等差數(shù)列,并求Sn的表達式;
(Ⅱ)若存在正數(shù)k,使得對任意n∈N*,都有(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)≥k$\sqrt{2n+1}$,求k的最大值.

分析 (Ⅰ)由已知數(shù)列遞推式可得${S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$(n≥2),整理后即可證明$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$是等差數(shù)列,求其通項公式后可得Sn的表達式;
(Ⅱ)構造函數(shù)f(n)=$\frac{(1+{S}_{1})(1+{S}_{2})…(1+{S}_{n})}{\sqrt{2n+1}}$,作商說明是增函數(shù),求其最小值可得滿足(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)≥k$\sqrt{2n+1}$的k的最大值.

解答 (Ⅰ)證明:∵n≥2時,an=Sn-Sn-1
∴由an=$\frac{2S_n^2}{{2{S_n}-1}}({n≥2})$,得${S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$,即Sn-1-Sn=2Sn•Sn-1,
由題意Sn≠0(n≥2),∴$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=2$(n≥2),
又S1=a1=1,∴$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$是以1為首項,以2為公差的等差數(shù)列,
則$\frac{1}{{S}_{n}}=1+2(n-1)=2n-1$,則${S}_{n}=\frac{1}{2n-1}$;
(Ⅱ)解:設f(n)=$\frac{(1+{S}_{1})(1+{S}_{2})…(1+{S}_{n})}{\sqrt{2n+1}}$,
則$\frac{f(n+1)}{f(n)}=\frac{(1+{S}_{n+1})\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n+3}}=\frac{2n+2}{\sqrt{2n+1}\sqrt{2n+3}}$=$\frac{\sqrt{4{n}^{2}+8n+4}}{\sqrt{4{n}^{2}+8n+3}}$>1.
故f(n)在n∈N*上遞增,故使f(n)≥k恒成立,只需k≤f(n)min,
又$f(n)_{min}=f(1)=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,∴k的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

點評 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等差關系的確定,訓練了恒成立問題的求解方法,是中檔題.

練習冊系列答案
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13.已知數(shù)列{an}中,有an+1=an+4且a1+a4=14
(1)求{an}的通項公式an與前n項和公式Sn;
(2)令bn=$\frac{{S}_{n}}{n+k}$( k∈Z),若{bn}是等差數(shù)列,數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和Tn≤$\frac{m}{100}$恒成立,求正整數(shù)m的最小值.

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1.已知全集U={1,2,3,6},集合A={1,3},則∁UA={2,6}.

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18.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是邊長為6的等邊三角形,點A1
在底面△ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心O,D,E分別為A1B1,BC的中點.
(Ⅰ)求證:DE∥平面ACC1A1;
(Ⅱ)若AA1=4$\sqrt{3}$,求四棱錐A1-CBB1C1的表面積.

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5.求下列各式的值:
(1)$ln\sqrt{e}$;            
(2)log26-log23;
(3)${log_3}(27×{9^2})$.

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15.以下命題正確的個數(shù)為( 。
①若“p且q”與“?p或q”均為假命題,則p真q假;
②“a>0”是“函數(shù)f(x)=|(ax-1)x|在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減”的充要條件;
③函數(shù)f(x)=3ax+1-2a在(-1,1)上存在x0,使得f(x0)=0,則a的取值范圍是a<-1或$a>\frac{1}{5}$;
 ④若向量$\overrightarrow a=({-1,2,3}),\overrightarrow b=({2,m,-6})$,且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為鈍角,則m<10.
A.1B.2C.3D.4

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2.運行如圖所示的程序框圖,若輸出的S的值為-5050,則空白處應填的數(shù)是( 。
A.99B.100C.101D.98

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19.已知函數(shù)f(x)=x(lnx-2ax)有兩個極值點,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A.(-∞,$\frac{1}{4}$)B.(0,$\frac{1}{2}$)C.(0,$\frac{1}{4}$)D.($\frac{1}{2}$,+∞)

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20.已知$0<β<α<\frac{π}{2}$,且$cosα=\frac{5}{13}$,$cos(α-β)=\frac{4}{5}$.
(Ⅰ)求$cos(α+\frac{π}{4})$的值;                  
(Ⅱ)求sin(α-β)的值.

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