Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax+1，其中a為實(shí)常數(shù)，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=e時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有最小值，并設(shè)函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求證：g（a）≤2；
（3）設(shè)n∈N^*，試比較$\frac{n（n+1）}{2}$與ln（e-1）+ln（2e-1）+ln（3e-1）…+ln（ne-1）的大小并加以證明．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出；
（2）先求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的最小值g（a）=a-lna+1，再求出g（a）的單調(diào)區(qū)間，從而得到g（a）≤2；
（3）先比較n與ln（ne-1）的大小，由（1）可得n＞ln（ne-1）成立，即可證明．

解答 解：（1）當(dāng)a=e時，f'（x）=e^x-e，
令f'（x）=0解得x=1，
當(dāng)f'（x）＞0時，解得x＞1，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f'（x）＜0時，解得x＜1，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1），遞增區(qū)間是（1，+∞）；
證明：（2）f'（x）=e^x-a
①當(dāng)a≤0時，可知f'（x）=e^x-a≥0恒成立，
所以f（x）在R上單調(diào)遞增，無最小值．
②當(dāng)a＞0時令f'（x）=0，解得x=lna，
當(dāng)f'（x）＞0時，解得x＞lna，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f'（x）＜0時，解得x＜lna，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以g（a）=f_min（x）=f（lna）=a-alna+1，
要證明g（a）≤2，則只需證明g_max（a）≤2，
g'（a）=-lna，
令g'（a）=0，解得a=1，
當(dāng)g'（x）＞0時，解得0＜a＜1，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)g'（x）＜0時，解得a＞1，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以g_max（a）=g（1）=2≤2成立．
所以g（a）≤2；
解：（3）先比較n與ln（ne-1）的大�。�
n＞ln（ne-1）?eⁿ＞ne-1?eⁿ-ne+1＞0；
由（1）可知函數(shù)f（x）=e^x-ex+1的最小值為f（1）=1＞0，
所以對任意的n∈N^*，都有f（n）＞0成立，即eⁿ-ne+1＞0成立，即n＞ln（ne-1）成立．
所以1+2+3+…+n＞ln（e-1）+ln（2e-1）+ln（3e-1）…+ln（ne-1）
即$\frac{n（n+1）}{2}＞$ln（e-1）+ln（2e-1）+ln（3e-1）…+ln（ne-1）

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，考查不等式恒成立時所取的條件，屬于中檔題．