Question

如圖，四面體A-BCD中，AD⊥BD，AD⊥CD，BD⊥CD，且AD=BD=CD=2，點E是線段AB的中點．
（1）求證：DE是異面直線AB與CD的公垂線；
（2）求異面直線AB與CD間的距離；
（3）求異面直線DE與BC所成的角．

Answer 1

分析：以BD所在直線為x軸，以CD所在直線為y軸，以AD所在直線為z軸建系；并求出各點對應坐標；
（1）求出

DE

，

AB

，

CD

的坐標，推出

AB

•

DE

=0以及

DE

•

DC

=0即可．
（2）根據

DE

的坐標結合第一問的結論，直接代入兩點間的距離公式即可求出結論；
（3）直接代入利用向量求兩直線間的夾角公式即可．

解答：解：（1）以BD所在直線為x軸，以CD所在直線為y軸，以AD所在直線為z軸建系如圖
由題意知D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，1）
∴

AB

=（2，0，-2），

DE

=（1，0，1），

DC

=（0，2，0）
∴

AB

•

DE

=0，

DE

•

DC

=0．
∴AB⊥DE，DE⊥DC．
即DE是異面直線AB與CD的公垂線．
（2）|

DE

|=

2

∴異面直線AB與CD間的距離是

2

．
（3）∵

BC

=（-2，2，0）
∴

BC

•

DE

=-2，|

BC

|=2

2

；
∴cosθ=

BC • DE

| BC |•| DE |

=

-2

2 2 • 2

=-

1

2

．
∴θ=120°．
∴異面直線DE與BC所成的角為60°．

點評：本題主要考查空間向量在求夾角以及距離的應用問題．解決第三問時，一定要注意兩異面直線所成角的范圍是（0°，90°】，避免出錯．