Question

12．已知點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面A₁B₁C₁D₁上一點(diǎn)（包括邊界），則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$的取值范圍是$[\frac{1}{2}，1]$．

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)P（x，y，0），（x，y∈[0，1]）．可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$=-x（1-x）-y（1-y）+1=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}$=f（x，y）．即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
A₁（0，0，0），A（0，0，1），C（1，1，1），
設(shè)P（x，y，0），（x，y∈[0，1]）．
$\overrightarrow{PA}$=（-x，-y，1），$\overrightarrow{PC}$=（1-x，1-y，1），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$=-x（1-x）-y（1-y）+1
=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}$=f（x，y）．
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x，y）取得最小值$\frac{1}{2}$．
當(dāng)點(diǎn)P取（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0），f（x，y）取得最大值1．
∴f（x，y）∈$[\frac{1}{2}，1]$．
故答案為：$[\frac{1}{2}，1]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、空間向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．