Question

已知等差列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S₃=9．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式：
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=

π

6

處取得最大值，且最大值為a₂，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的通項公式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）設出等差數(shù)列的公差d，然后由a₁=1，S₃=9列式求解d，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）求出a₂的值，即A的值，再由在x=

π

6

處取得最大值結合φ的范圍求φ，則函數(shù)f（x）的解析式可求．

解答： 解：（Ⅰ）設等差列{a_n}的公差為d，依題意得：

a1=1 S3=3a1+3d=9

，解得d=2．
∴等差數(shù)列的通項公式為a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a₂=3，
∴A=3．
∵f（x）在x=

π

6

處取得最大值，
∴2×

π

6

+φ=2kπ，k∈Z．
又∵0＜φ＜π，
∴φ=

π

6

．
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=3sin（2x+

π

6

）．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，是基礎題．