Question

已知函數(shù)f（x）=|x|，g（x）=-|x-4|+m
（Ⅰ）解關于x的不等式g[f（x）]+2-m＞0；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象,絕對值不等式的解法

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）把函數(shù)f（x）=|x|代入g[f（x）]+2-m＞0可得不等式||x|-4|＜2，解此不等式可得解集；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，則f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x-4|+|x|恒成立，只要求|x-4|+|x|的最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）把函數(shù)f（x）=|x|代入g[f（x）]+2-m＞0并化簡得||x|-4|＜2，
∴-2＜|x|-4＜2，
∴2＜|x|＜6，
故不等式的解集為[-6，-2]∪[2，6]；

（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，
∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x-4|+|x|恒成立，
∵|x-4|+|x|≥|（x-4）-x|=4，
∴m的取值范圍為m＜4．

點評：本題只要考查函數(shù)的性質，同時考查不等式的解法，函數(shù)與不等式結合時，要注意轉化數(shù)學思想的運用．