Question

16．雙曲線C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，F(xiàn)₂也是拋物線${C_1}：{y^2}=2px（{p＞0}）$的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是曲線C_l與C₂在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且|AF₂|=|F₁F₂|，則雙曲線的離心率為1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，利用拋物線的定義，推出A的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求解即可．

解答 解：雙曲線C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
F₂也是拋物線${C_1}：{y^2}=2px（{p＞0}）$的焦點(diǎn)，可得：$\frac{p}{2}=c$，拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=-c，
點(diǎn)A是曲線C_l與C₂在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且|AF₂|=|F₁F₂|，可得A（c，2c），
則：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{c}^{2}}{^{2}}=1$，可得e²-$\frac{4{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=1，e＞1，解得e=1+$\sqrt{2}$．
故答案為：$1+\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線與拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．