Question

1．在平面直角坐標系xoy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C₁的極坐標方程為ρ=4cosθ，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)）．
（1）若C₁與C₂只有一個公共點，求實數(shù)m的值；
（2）若θ=$\frac{π}{3}$與C₁交于點A（異于極點），θ=$\frac{5π}{6}（{ρ∈R}）$與C₁交于點B（異于極點），與C₂交于點C，若△ABC的面積為3$\sqrt{3}$，求實數(shù)m（m＜0）的值．

Answer 1

分析 （1）將兩個方程都化為普通方程，C₁與C₂只有一個公共點，直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，即可求實數(shù)m的值；
（2）求|OA|，|OB|，|OC|，利用△ABC的面積為3$\sqrt{3}$，即可求實數(shù)m（m＜0）的值．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標方程為ρ=4cosθ，即x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4；
曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），消去t可得y=$\sqrt{3}$（x-m）．
∵C₁與C₂只有一個公共點，
∴直線與圓相切，
∴$\frac{|2\sqrt{3}-\sqrt{3}m|}{2}$=2，∴m=2±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（2）θ=$\frac{π}{3}$與C₁交于點A（異于極點），|OA|=2，θ=$\frac{5π}{6}（{ρ∈R}）$與C₁交于點B（異于極點），|OB|=2$\sqrt{3}$，
曲線C₂的極坐標方程為ρ=$\frac{\sqrt{3}m}{2cos（θ+\frac{π}{6}）}$，θ=$\frac{5π}{6}（{ρ∈R}）$，|OC|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×$（2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m）=3$\sqrt{3}$，∴m=-2．

點評 本題考查三種方程的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．