Question

7．已知函數(shù)f（x）=-cos²x-sinx+1，若$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$，f（$\frac{π}{4}$+α）=-$\frac{4}{25}$，f（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{12}{169}$，則sin（α+β）值為$\frac{8\sqrt{42}+3}{65}$．

Answer 1

分析 由平方關(guān)系可得f（x）=-cos²x-sinx=sin²x-sinx，分別化簡f（$\frac{π}{4}$+α）=-$\frac{4}{25}$，f（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{12}{169}$，求出sin（$\frac{π}{4}$+α）和sin（$\frac{3π}{4}+β$）的值，根據(jù)α、β的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行取舍，由平方關(guān)系分別求出cos（$\frac{π}{4}$+α）、cos（$\frac{3π}{4}+β$）的值，由兩角和的正弦公式求出sin[（$\frac{π}{4}$+α）+（$\frac{3π}{4}$+β）]的值，利用誘導(dǎo)公式化簡得到答案．

解答 解：由題意得，f（x）=-cos²x-sinx=sin²x-sinx，
所以f（$\frac{π}{4}$+α）=sin²（$\frac{π}{4}$+α）-sin（$\frac{π}{4}$+α）=-$\frac{4}{25}$，
則sin²（$\frac{π}{4}$+α）-sin（$\frac{π}{4}$+α）+$\frac{4}{25}$=0，
即[sin（$\frac{π}{4}$+α）-$\frac{4}{5}$][sin（$\frac{π}{4}$+α）-$\frac{1}{5}$]=0，
解得sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{4}{5}$或sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{5}$，
因?yàn)?\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{2}＜$$\frac{π}{4}$+α$＜\frac{3π}{4}$，則sin（$\frac{π}{4}$+α）＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{4}{5}$，則cos（$\frac{π}{4}$+α）=-$\frac{3}{5}$，
同理f（$\frac{3π}{4}$+β）=sin²（$\frac{3π}{4}$+β）-sin（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{12}{169}$，
則sin²（$\frac{3π}{4}$+β）-sin（$\frac{3π}{4}$+β）+$\frac{12}{169}$=0，
即[sin（$\frac{3π}{4}$+β）-$\frac{12}{13}$][sin（$\frac{3π}{4}$+β）-$\frac{1}{13}$]=0，
解得sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$或sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{1}{13}$，
因?yàn)?＜β＜$\frac{π}{4}$，所以$\frac{3π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$+β＜π，則sin（$\frac{3π}{4}$+β）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{1}{13}$，則cos（$\frac{3π}{4}$+β）=$-\frac{2\sqrt{42}}{13}$
則sin[（$\frac{π}{4}$+α）+（$\frac{3π}{4}$+β）]=sin（$\frac{π}{4}$+α）cos（$\frac{3π}{4}$+β）+cos（$\frac{π}{4}$+α）sin（$\frac{3π}{4}$+β）
=$\frac{4}{5}$×（$-\frac{2\sqrt{42}}{13}$）+（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{1}{13}$=$-\frac{8\sqrt{42}+3}{65}$，
所以sin（α+β）=-sin（π+α+β）=$\frac{8\sqrt{42}+3}{65}$，
故答案為：$\frac{8\sqrt{42}+3}{65}$．

點(diǎn)評 本題考查兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的性質(zhì)、符號，注意三角函數(shù)的符號，考查化簡、計(jì)算能力．