Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

m+1

2

x²（x∈R）．
（1）若f（x）在x=1處取得極大值，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=

1

3

-mx（m≤1）有三個不同的根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f（x）在x=1處取得極大值，可得f′（1）=0，從而可得m=0．進而利用f′（x）＞0，確定函數(shù)的遞增區(qū)間；f′（x）＜0，確定函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+mx-

1

3

=

1

3

x³-

m+1

2

x²+mx-

1

3

，由g′（x）=0，得x=m或x=1．再對m進行討論：m=1時，g′（x）=（x-1）²≥0，g（x）在R上單調(diào)遞增，不合題意；m＜1時，確定函數(shù)的極大值與極小值，根據(jù)方程f（x）=

1

3

-mx（m≤1）有三個不同的根，可知函數(shù)g（x）=f（x）+mx-

1

3

與x軸有三個不同的交點，從而函數(shù)的極大值大于0，，極小值小于0，即可得到實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=x²-（m+1）x，…（1分）
則由題意，f（x）在x=1處取得極大值
∴f′（1）=1²-（m+1）×1=0，即m=0．…（2分）
∴f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²，f′（x）=x²-x．
由f′（x）=x²-x=0，解得x=0或x=1．
令f′（x）＞0，得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．…（5分）
（2）設(shè)g（x）=f（x）+mx-

1

3

=

1

3

x³-

m+1

2

x²+mx-

1

3

，
則g′（x）=x²-（m+1）x+m=（x-m）（x-1）．
令g′（x）=0，得x=m或x=1．
①當m=1時，g′（x）=（x-1）²≥0，g（x）在R上單調(diào)遞增，不合題意．…（7分）
  …（9分）
因為方程f（x）=

1

3

-mx（m≤1）有三個不同的根，即函數(shù)g（x）=f（x）+mx-

1

3

與x軸有三個不同的交點，所以

- m3 6 + m2 2 - 1 3 ＞0 m-1 2 ＜0

            …（10分）
解得m＜1-

3

．…（12分）
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是（-∞，1-

3

）．  …（13分）

點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查方程根的研究，同時考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題時構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=f（x）+mx-

1

3

與x軸有三個不同的交點是關(guān)鍵