Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^5-n，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=n+k，設(shè)c_n=

bn，an≤bn an，an＞bn

若在數(shù)列{c_n}中，c₅≤c_n對(duì)任意n∈N^*恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：若c₅=a₅，則b₆≥a₅，a₅＞b₅，b₆≥a₅，由此推導(dǎo)出-5≤k＜-4；若c₅=b₅，則b₅≥a₅，b₅≥a₅，a₄≥b₅，由此推導(dǎo)出-5≤k≤-3．由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：若c₅=a₅，則a₅＞b₅，則前面不會(huì)有b_n的項(xiàng)，
∵{b_n}遞增，{a_n}遞減，∴b_i（i=1，2，3，4）＜b₅＜a₅＜a_i（i=1，2，3，4），
∵a_n遞減，∴當(dāng)n≥6時(shí)，必有c_n≠a_n，即c_n=b_n，
此時(shí)應(yīng)有b₆≥a₅，∴a₅＞b₅，即2⁰＞5+k，得k＜-4，
b₆≥a₅，即6+k≥1，得k≥-5，
∴-5≤k＜-4．
若c₅=b₅，則b₅≥a₅，同理，前面不能有b_n項(xiàng)，
即a₄≥b₅＞b₄，當(dāng)n≥6時(shí)，∵{b_n}遞增，{a_n}遞減，
∴b_n＞b₅≥a₅＞a_n（n≥6），
∴當(dāng)n≥6時(shí)，c_n=b_n．由b₅≥a₅，即5+k≥1，得，k≥-4，
由a₄≥b₅，得2≥5+k，得k≤-3，即-4≤k≤-3．
綜上得，-5≤k≤-3．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-5，-3]．
故答案為：[-5，-3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．