Question

如圖，一根長(zhǎng)為2米的木棒AB斜靠在墻壁AC上，∠ABC=60°，若AB滑動(dòng)至DE位置，
且AD=(

3

-

2

) 米，問(wèn)木棒AB中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路程為

 

米．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半得到CO=

1

2

AB=

1

2

DE=CO′，即O運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)是一段圓��；在Rt△ACB中，根據(jù)直角三角形三邊的關(guān)系得到∠ACO=30°，CA=

3

，則易求出CD=CA-DA=

2

，即可得到△DCE為等腰直角三角形，得到∠DEC=45°，則∠OCO′=∠DCO′-∠ACO=15°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答： 解：連接CO、CO′，如圖，

∵CA⊥CB，O為AB中點(diǎn)，O′為DE的中點(diǎn)，
∴CO=

1

2

AB=

1

2

DE=CO′，
∵AB=2，
∴CO=1，
當(dāng)A端下滑B端右滑時(shí)，AB的中點(diǎn)O到C的距離始終為定長(zhǎng)1，
∴O運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)是一段圓弧，
∵∠ABC=60°，
∴∠ACO=30°，CA=

3

，
∵AD=

3

-

2

，
CD=CA-AD=

3

-(

3

-

2

)=

2

，
∴sin∠DEC=

CD

DE

=

2

2

，
∴∠DEC=45°，
∴∠DCO′=45°
∴∠OCO′=∠DCO′-∠ACO=15°，
∴弧OO′的長(zhǎng)=

15π

180

=

π

12

，
即O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O′所經(jīng)過(guò)路線(xiàn)OO′的長(zhǎng)為

π

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是明確AB中點(diǎn)在以C為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)，考查了弧長(zhǎng)公式及直角三角形中的邊角關(guān)系，是中檔題．