Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知c=2，

3

2

sinC+

1

2

cosC=1．
（1）若△ABC的面積等于

3

，求a，b；
（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）已知等式左邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，由已知三角形ABC的面積，利用面積公式求出ab的值，再利用余弦定理求出a2+b2的值，聯(lián)立求出a與b的值即可；
（2）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將各自的值代入得到關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，進(jìn)而求出b的值，再由sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）∵

3

2

sinC+

1

2

cosC=sin（C+

π

6

）=1，且C為三角形的內(nèi)角，
∴C+

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
∵S_△ABC=

1

2

absinC=

3

，∴ab=4①，
∵c²=a²+b²-2abcosC，即4=a²+b²-8，
∴a²+b²=12②，
聯(lián)立①②解得：a=

5

+1，b=

5

-1或a=

5

-1，b=

5

+1；
（2）由正弦定理化簡(jiǎn)sinB=2sinA得：b=2a，
∴c²=a²+b²-2abcosC，即4=a²+4a²-2a²，
解得：a=

2 3

3

，
∴b=2a=

4 3

3

，
則S_△ABC=

1

2

absinC=

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．