Question

已知橢圓C：（a＞b＞0），C的右焦點F（1，0），長軸的左、右端點分別為A₁，A₂，且．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過焦點F斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于A，B兩點，弦AB的垂直平分線與x軸相交于點D．試問橢圓C上是否存在點E使得四邊形ADBE為菱形？若存在，試求點E到y(tǒng)軸的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）題目給出了橢圓的右焦點坐標，則知道了c的值，再由，列式求出a²的值，結合隱含條件b²=a²-c²求出b²的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）由點斜式寫出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)的關系求出A，B中點的坐標，然后寫出MD所在的直線方程，求出D點的坐標，根據(jù)四邊形ADBE是菱形，列式求出E點的坐標，把E點的坐標代入橢圓方程求出k²的值，則E點到y(tǒng)軸的距離可求．
解答：解：（Ⅰ）依題設A₁（-a，0），A₂（a，0），則，．
由，得：（-a-1）（a-1）=-1，解得a²=2，又c=1，所以b²=1．
所以橢圓C的方程為．
（Ⅱ）橢圓C上是否存在點E使得四邊形ADBE為菱形．
事實上，依題直線l的方程為y=k（x-1）．
聯(lián)立，得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點為M（x，y），
則，，
所以，，
所以．
則直線MD的方程為，
令y=0，得，則．
若四邊形ADBE為菱形，則x_E+x_D=2x，所以．
y_E+y_D=2y，所以．
所以．
若點E在橢圓C上，則．
即9k⁴+8k²=2（2k²+1）²
整理得k⁴=2，解得．
所以橢圓C上存在點E使得四邊形ADBE為菱形．
此時點E到y(tǒng)軸的距離為=．
點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和橢圓的位置關系，訓練了設而不求的解題方法，此法的依據(jù)是二次方程中根與系數(shù)的關系，訓練了學生的計算能力，屬有一定難度題目．