Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量

m

=(a， b)， 

n

=(cosA， cosB)，

p

=(2

2

sin

B+C

2

， 2sinA)，若

m

∥

n

， |

p

| =3．
（1）求角A、B、C的值；
（2）若x∈[0， 

π

2

]，求函數(shù)f（x）=sinAsinx+cosBcosx的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）由

m

∥

n

的條件得acosB=bcosA，由正弦定理把邊化為角，再用兩角差的正正弦公式得sin（A-B）=0，在三角形內(nèi)角的范圍內(nèi)得A=B，由向量模的值為3，得其平方為9，用坐標(biāo)來表示，得關(guān)于cosA的方程，求得cosA的值，A是三角形內(nèi)角，可得一個確定的角A，從而求出其它兩角．
（2）用兩角和的正弦公式把f（x）化為f（x）=sin（x+

π

6

）的形式，由

解答：解：（1）∵

m

∥

n

， ∴ acosB=bcosA，
由正弦定理，得sinAcosB=sinBcosA，∴sin（A-B）=0，
又-π＜A-B＜π，∴A=B
而

p

2=|

p

|2=8sin2

B+C

2

+4sin2A=9，
∴8cos2

A

2

+4sin²A=9，∴4（1+cosA）+4（1-cos²A）=9，
∴4cos²A-4cosA+1=0，∴（2cosA-1）²=0
∴cosA=

1

2

，又0＜A＜π，∴A=

π

3

，
∴A=B=C=

π

3

．
（2）f(x)=sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

=sin(x+

π

6

)，
∵x∈[0， 

π

2

]， ∴x+

π

6

∈[

π

6

， 

2π

3

]
∴x=0時，f(x)min=f(0)=

1

2

，
x=

π

3

時，f(x)max=f(

π

3

)=1．

點評：此題是解三角形與三角函數(shù)的綜合運用，在求角時，得到一個關(guān)于三角函數(shù)的等式，把這個式子要么全化成角，要么全化成邊；求三角函數(shù)最值時，一般要把式子化為
y=Asin（ωx+φ）形式．