Question

已知長(zhǎng)方體AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，連接B₁C，過B點(diǎn)作B₁C的垂線交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求證：A₁C⊥平面EBD；
（2）求點(diǎn)A到平面A₁B₁C的距離；
（3）求平面A₁B₁C與直線DE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以A為原點(diǎn)，

AB

，

AD

，

AA1

分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出

BD

與

BE

，然后根據(jù)向量的數(shù)量積判定垂直關(guān)系，A₁C⊥BD，A₁C⊥BE，又BD∩BE=B滿足線面垂直的判定定理所需條件；
（2）連接AE₁，A到平面A₁B₁C的距離，即三棱錐A-A₁B₁C的高，根據(jù)等體積法可知VA-A1B1C=VC-A1B1A，求出高即可；
（3）連接DF，根據(jù)BE⊥平面A₁B₁C，可知DF是DE在平面A₁B₁C上的射影，從而∠EDF是DE與平面A₁B₁C所成的角，最后在Rt△FDE中，求出此角的正弦值即可．

解答：解：（1）證明：以A為原點(diǎn)，

AB

，

AD

，

AA1

分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、A₁（0，0，2）、B₁（1，0，2）、C₁（1，1，2）、D₁（0，1，2），

A1C

=(1，1，-2)，

BD

=(-1，1，0)，…（2分）
設(shè)E（1，1，z），則：

BE

=(0，1，z)，

CB1

=(0，-1，2)，
∵BE⊥B₁C∴

BE

•

CB1

=-1+2z=0，z=

1

2

，∴E(1，1，

1

2

)，

BE

=(0，1，

1

2

)，
∵

A1C

•

BD

=-1+1+0=0，

A1C

•

BE

=0+1-1=0，∴A₁C⊥BD，A₁C⊥BE，…（4分）
又BD∩BE=B∴A₁C⊥平面EBD．…（5分）
（2）連接AE₁，A到平面A₁B₁C的距離，即三棱錐A-A₁B₁C的高，設(shè)為h，…（6分）
S△A1B1C=

5

2

，VC-A1B1A=

1

3

，由VA-A1B1C=VC-A1B1A得：

1

3

×

5

2

h=

1

3

，h=

2 5

5

，…（8分）
∴點(diǎn)A到平面A₁B₁C的距離是

2 5

5

．…（9分）
（3）連接DF，∵A₁C⊥BE，B₁C⊥BE，A₁C∩B₁C=C，∴BE⊥平面A₁B₁C，∴DF是DE在平面A₁B₁C上的射影，∠EDF是DE與平面A₁B₁C所成的角，…（11分）
設(shè)F（1，y，z），那么

BF

=(0，y，z)，

CF

=(-1，y-1，z)，

B1C

=(0，1，-2)，∵

BF

•

B1C

=0∴y-2z=0①∵

CF

∥

B1C

，∴z=2-2y②由①、②得y=

4

5

，z=

2

5

，

DE

=(1，0，

1

2

)，

EF

=(0，-

1

5

，-

1

10

)…（12分）
在Rt△FDE中，DE=

5

2

，EF=

5

10

．∴sin∠EDF=

EF

ED

=

1

5

，因此，DE與平面A₁B₁C所成的角的正弦值是

1

5

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用空間向量求直線與平面的夾角，以及點(diǎn)面間的距離計(jì)算，屬于中檔題．