(2008•宣武區(qū)一模)如圖,已知長方體AC1中,AB=BC=1,BB1=2,連接B1C,過B點作B1C的垂線交CC1于E,交B1C于F
(1)求證:AC1⊥平面EBD;
(2)求點A到平面A1B1C的距離;
(3)求直線DE與平面A1B1C所成角的正弦值.
分析:法一:(1)連接AC,則AC⊥DB,由AC是A1C在平面ABCD內的射影,知A1C⊥BD.因為A1B1⊥平面B1C1BC,所以A1C⊥BE.由此能夠證明A1C⊥平面EBD.
(2)由AB平行于平面A1B1C,所以點B到平面A1B1C的距離等于點A到平面A1B1C的距離,由BF⊥平面A1B1C,知BF為所求距離,由此能求出結果.
(3)連接DF,A1D,由EF⊥B1C,EF⊥A1C,知EF⊥平面A1B1C,所以∠EDF即為直線ED與平面A1B1C所成的角.由條件AB=BC=1,BB1=2,能求出直線DE與平面A1B1C所成角的正弦值.
法二:(1)分別以AB,AD,AA1為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,則A(0,0,0,),A1(0,0,2),E(1,1,
1
2
)
,B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),由向量法能證明A1C⊥平面EBD.
(2)設平面A1B1C的一個法向量為m=(x,y,z)則
A1B1
•m=0
B1C
•m=0
,所以m=(0,2,1),由此能求出點A到平面A1B1C的距離.
(3)由m=(0,2,1),
ED
=(-1,0,-
1
2
)
,
ED
與m所成角為θ,由cosθ=
m•
ED
|m|•|
ED
|
=-
1
5
,能求出直線ED與平面A1B1C所成角的正弦值.
解答: 解法一:
(1)證明:連接AC,則AC⊥DB,
∵AC是A1C在平面ABCD內的射影,∴A1C⊥BD
又∵A1B1⊥平面B1C1BC,
且A1C在平面B1C1BC內的射影B1C⊥BE
且BD∩BE=B,
∴A1C⊥BE∴A1C⊥平面EBD…(4分)
(2)解:∵AB平行于平面A1B1C,
所以點B到平面A1B1C的距離等于點A到平面A1B1C的距離
因為BF⊥平面A1B1C
所以BF為所求距離,BF=
2×1
22+12
2
5
5
…(9分)
(3)解:連接DF,A1D,
∵EF⊥B1C,EF⊥A1C,
∴EF⊥平面A1B1C,
∴∠EDF即為直線ED與平面A1B1C所成的角
由條件AB=BC=1,BB1=2
可知B1C=
5
,BF=
2
5
5
,B1F=
4
5
5
,CF=
5
5
EF=
FC•BF
B1F
=
5
10
,EC=
FC•BB1
B1F
=
1
2

ED=
EC2+CD2
=
5
2

sin∠EDF=
EF
ED
=
1
5
…..(14分)
解法二:如圖建立空間直角坐標系.
(1)證明:A(0,0,0,),A1(0,0,2),E(1,1,
1
2
)
B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0)
A1C
=(1,1,-2),
BE
=(0,1,
1
2
),
DE
=(1,0,
1
2
)

A1C
BE
=1×0+1×1+(-2)×
1
2
=0
,
A1C
DE
=1×1+1×0+(-2)×
1
2
=0

A1C
BE
A1C
DE
,即A1C⊥BE,A1C⊥DE
,
∵BE∩DE=E
所以A1C⊥平面EBD.…(4分)
(2)解:設平面A1B1C的一個法向量為m=(x,y,z)
A1B1
•m=0
B1C
•m=0
,
x=0
y=2z

令z=1,得m=(0,2,1),
AA1
=(0,0,2)
,
所以,所求的距離為d=
|
AA1
•m|
|m|
=
2
5
=
2
5
5
…(9分)

(3)解:由(2)知,m=(0,2,1),
ED
=(-1,0,-
1
2
)

ED
與m所成角為θ,
cosθ=
m•
ED
|m|•|
ED
|
=-
1
5

所以直線ED與平面A1B1C所成角的正弦值為
1
5
….(14分)
點評:本題考查直線與平面垂直的證明、點到平面的距離和直線與平面所成角的正弦值的求法,考查空間思維能力,考查運算求證能力,考查化歸轉化思想.對數(shù)學思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強,難度大,易出錯.
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