Question

（2013•德州一模）已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中點，點Q在側(cè)棱PC上．
（1）求證：AD⊥平面PBE；
（2）若Q是PC的中點，求證PA∥平面BDQ；
（3）若V_P-BCDE=3V_Q-ABCD，試求

CP

CQ

的值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理證明．（2）利用線面平行的判定定理證明．（3）根據(jù)體積條件確定線段的比值．

解答：解：（1）由E是AD的中點，PA=PD，所以AD⊥PE，
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
所以AB=BD，又E是AD的中點，所以AD⊥BE，
又PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．
（2）連結(jié)AC交BD于O，連OQ
因為O是AC的中點，Q是PC的中點，
所以OQ∥PA．又PA?面BDQ，OQ?BDQ，
所以PA∥平面BDQ．
（3）設四棱錐P-BCDE，Q-ABCD的高分別為h₁，h₂，
所以VP-BCDE=

1

3

S△BCDEh1，VQ-ABCD=

1

3

SABCDh2，
因為V_P-BCDE=3V_Q-ABCD，且底面積SBCDE=

3

4

SABCD，
所以

CP

CQ

=

h1

h2

=4．

點評：本題主要考查空間直線與平面的位置關系的判斷，要求熟練掌握相應的判定定理．