Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=0恰有三個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）已知不等式f'（x）＜x²-x+1對(duì)任意a∈（1，+∞）都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來確定極值．
（2）先求出極大值與極小值，要使函數(shù)y=f（x）的圖象與值線y=0恰有三個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）的極大值大于零，極小值小于零即可．
（3）先進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后變量分離，轉(zhuǎn)化成對(duì)任意a∈（1，+∞）都成立，則x大于的最大值，利用基本不等式研究函數(shù)的最大值，求出變量x的范圍即可．
解答：解：（1）∵f′（x）=x²-ax-2a²，令f′（x）=x²-ax-2a²=0，則  x=-a或x=2a
f′（x）=x²-ax-2a²＞0時(shí)，x＜-a或x＞2a
x=-a時(shí)，f（x）取得極大值f（-a）=，x=2a時(shí)，f（x）取極小值
f（2a）=
（2）要使函數(shù)y=f（x）的圖象與值線y=0恰有三個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）的極大值大于零，極小值小于零，由（1）的極值可得解之得
（3）要使f′（x）＜x²-x+1對(duì)任意a∈（1，+∞）都成立
即x²-ax-2a²＜x²-x+1，
（1-a）x＜2a²+1
∵a∈（1，+∞）∴1-a＜0
對(duì)任意a∈（1，+∞）都成立，則x大于的最大值
∵
由a∈（1，+∞），，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴
故
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)恒成立問題，屬于難題．