Question

已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程的兩根，且a₁=1．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若b_n﹣mS_n＞0對(duì)任意的n∈N*都成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵a_n+a_n+1=2n，
∴a_n+1﹣2ⁿ⁺¹=（2n﹣a_n）﹣2ⁿ⁺¹
=﹣a_n+2n（1﹣）=
∴=﹣1，
∴{a_n﹣2ⁿ}是等比數(shù)列，
又a₁﹣=，q=﹣1
∴a_n=[2n﹣（﹣1）ⁿ]．
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n=[（2+2²+…+2ⁿ）﹣（（﹣1）+（﹣1）²+…+（﹣1）ⁿ）]

（3）∵a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程的兩根，
∴b_n=a_na_n+1，b_n=[2ⁿ﹣（﹣1）ⁿ][2ⁿ⁺¹﹣（﹣1）ⁿ⁺¹]
=[2ⁿ⁺¹﹣（﹣2）ⁿ﹣1]
∵b_n﹣ms_n＞0，
∴，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，[2²ⁿ⁺¹+2ⁿ﹣1]﹣（2ⁿ⁺¹﹣1）＞0，
∴m＜（2n+1）對(duì)n∈{奇數(shù)}都成立，
∴m＜1．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，[2²ⁿ⁺¹﹣2ⁿ﹣1]﹣（2ⁿ⁺¹﹣2）＞0，[2²ⁿ⁺¹﹣2ⁿ﹣1]﹣（2ⁿ﹣1）＞0，
∴m＜（2ⁿ⁺¹+1）對(duì)n∈{偶數(shù)}都成立，
∴m＜．
綜上所述，m的取值范圍為m＜1．