如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD.底面ABCD為梯形,AB∥DC,AB⊥BC.PA=AB=BC,點(diǎn)E在棱PB上,且PE=2EB.
(Ⅰ)求證:平面PAB⊥平面PCB;
(Ⅱ)求證:PD∥平面EAC;
(Ⅲ)求二面角A-EC-P的大。

【答案】分析:法一:(Ⅰ)證明平面PAB⊥平面PCB,只需證明平面PCB內(nèi)的直線(xiàn)BC,垂直平面PAB內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)PA,AB,即可證明BC⊥平面PAB,就證明了平面PAB⊥平面PCB;
(Ⅱ)證明平面EAC外的直線(xiàn)PD,平行平面EAC內(nèi)的直線(xiàn)EM,即可證明PD∥平面EAC;
(Ⅲ)在等腰直角△PAB中,取PB中點(diǎn)N,連接AN,在平面PBC內(nèi),過(guò)N作NH⊥直線(xiàn)CE于H,連接AH,.說(shuō)明∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角,解Rt△AHN,求二面角A-EC-P的大。
法二:(Ⅱ)以A為原點(diǎn),AB,AP所在直線(xiàn)分別為y軸、z軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)向量計(jì)算,說(shuō)明,從而證明PD∥EM.PD?平面EAC,EM?平面EAC,PD∥平面EAC.
(Ⅲ)求出平面EAC的一個(gè)法向量,平面EBC的一個(gè)法向量,利用,求二面角A-EC-P的大小.
解答:證明:
(Ⅰ)∵PA⊥底面ABCD,
∴PA⊥BC.
又AB⊥BC,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB.(2分)
又BC?平面PCB,
∴平面PAB⊥平面PCB.(4分)
(Ⅱ)∵PA⊥底面ABCD,

∴AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影.
又∵PC⊥AD,
∴AC⊥AD.(5分)
在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得,

又AC⊥AD,故△DAC為等腰直角三角形.

連接BD,交AC于點(diǎn)M,則.(7分)
在△BPD中,
∴PD∥EM
又PD?平面EAC,EM?平面EAC,
∴PD∥平面EAC.(9分)
(Ⅲ)在等腰直角△PAB中,取PB中點(diǎn)N,連接AN,則AN⊥PB.
∵平面PAB⊥平面PCB,且平面PAB∩平面PCB=PB,

∴AN⊥平面PBC.
在平面PBC內(nèi),過(guò)N作NH⊥直線(xiàn)CE于H,連接AH,由于NH是AH在平面CEB內(nèi)的射影,故AH⊥CE.
∴∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角.(12分)
在Rt△PBC中,設(shè)CB=a,則,,,
由NH⊥CE,EB⊥CB可知:△NEH∽△CEB,

代入解得:
在Rt△AHN中,,∴(13分)
即二面角A-CE-P的大小為.(14分)
解法二:
(Ⅱ)以A為原點(diǎn),AB,AP所在直線(xiàn)分別為y軸、z軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)PA=AB=BC=a,則A(0,0,0),B(0,a,0),C(a,a,0),P(0,0,a),.(5分)
設(shè)D(a,y,0),則,∵CP⊥AD,
,解得:y=-a.∴DC=2AB.
連接BD,交AC于點(diǎn)M,
.(7分)
在△BPD中,,
∴PD∥EM.
又PD?平面EAC,EM?平面EAC,
∴PD∥平面EAC.(9分)
(Ⅲ)設(shè)=(x,y,1)為平面EAC的一個(gè)法向量,則

解得:,∴.(11分)
設(shè)=(x',y',1)為平面EBC的一個(gè)法向量,則,
,∴
解得:x'=0,y'=1,∴=(0,1,1).(12分)(13分)
∴二面角A-CE-P的大小為.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查平面與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面平行的判定,二面角及其度量,考查空間想象能力,邏輯思維能力,計(jì)算能力,是中檔題.
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如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點(diǎn).求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點(diǎn).
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點(diǎn)F是PB中點(diǎn).
(Ⅰ)若E為BC中點(diǎn),證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點(diǎn),證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線(xiàn)PA與平面PDE所成角的正弦值.

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如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
(1)求點(diǎn)A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大小;當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿(mǎn)足PQ與AD的夾角為θ,求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

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