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如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，O為BC的中點，AO∥面EFD，
(Ⅰ)求BD的長；
(Ⅱ)求證：面EFD⊥面BCED；
(Ⅲ)求平面DEF與平面ACEF相交所成銳角二面角的余弦值．
解：（Ⅰ）取ED的中點P，連接PO，PF，
則PO為梯形BCED的中位線，，
又，
所以PO∥AF，所以A，O，P，F四點共面。
因為AO∥面EFD，且面AOPF∩面EFD=PF，
所以AO∥PF，
所以四邊形AOPF為平行四邊形，PO=AF=2，
所以BD=1。
（Ⅱ）由題意可知平面ABC⊥面BCED；
又AO⊥BC且平面ABC，
所以AO⊥面BCED，
因為AO∥PF，
所以PF⊥面BCED，
又面EFD，
所以面EFD⊥面BCED；
（Ⅲ）以O為原點，OC，OA，OP所在直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
，
設Q為AC的中點，則，
易證：BQ⊥平面ACEF，平面ACEF的法向量為，
設平面DEF的法向量為，，
由得，所以，
所以，
所以平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值為。
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點．
（Ⅰ）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一點P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的長；若不存在，說明理由．

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平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O為BC的中點．
（1）求證：AO∥平面DEF；
（2）求證：平面DEF⊥平面BCED；
（3）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值．

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如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點．
（1）求證：OC⊥DF；
（2）試問線段CE上是否存在一點P，使得OP∥平面DEF？若存在，求出CP的長度，若不存在，請說明理由．

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