Question

已知球O的表面積為4π，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且A與B、A與C，B與C兩點(diǎn)的球面距離分別是，，則OB與平面ABC所成的角是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：由題意，球的半徑為1，根據(jù)A與B、A與C，B與C兩點(diǎn)的球面距離分別是，，可得∠AOB=，∠AOC=，∠BOC=，從而可求AB=AC=，BC=1，可求，利用等體積法求出O到平面ABC的距離，即可求得結(jié)論．
解答：由題意，∵球O的表面積為4π，
∴球的半徑為1，
∵A與B、A與C，B與C兩點(diǎn)的球面距離分別是，，
∴∠AOB=，∠AOC=，∠BOC=，∴AO⊥面BOC
∵OA=OB=OC=1，∴AB=AC=，BC=1．
∴
設(shè)h為O到平面ABC的距離，則
∵S_△ABC=
∴
∴h=
∴OA與平面ABC所成角的正弦值為
∴OB與平面ABC所成的角是
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面角，考查三棱錐的體積，解題的關(guān)鍵是利用等體積求出點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題．