Question

3．已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左右焦點分別為F₁，F₂，且兩條曲線在第一象限的交點為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，若|PF₁|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則e₁與e₂滿足的關系是（　�。�

• A． $\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$=2
• B． $\frac{1}{{e}_{1}}$-$\frac{1}{{e}_{2}}$=2
• C． e₁+e₂=2
• D． e₂-e₁=2

Answer 1

分析 設橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），由條件可得m=10，n=2c，再由橢圓和雙曲線的定義可得10+n=2a₁，10-n=2a₂，則n=a₁-a₂，計算可得$\frac{1}{{e}_{1}}$-$\frac{1}{{e}_{2}}$=2．

解答 解：如圖，設橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），
由于△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．若|PF₁|=10，
即有m=10，n=2c，
由橢圓的定義可得10+n=2a₁，
由雙曲線的定義可得10-n=2a₂，
則n=a₁-a₂，
∵${e}_{1}=\frac{c}{{a}_{1}}$，${e}_{2}=\frac{c}{{a}_{2}}$，
∴$\frac{1}{{e}_{1}}-\frac{1}{{e}_{2}}=\frac{{a}_{1}}{c}-\frac{{a}_{2}}{c}=\frac{{a}_{1}-{a}_{2}}{c}=\frac{n}{c}=\frac{2c}{c}=2$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質，考查離心率的求法，關鍵是圓錐曲線定義的應用，屬于中檔題．