20．在△ABC中，若tanAtanC+tanBtanC=2tanAtanB，則 $\frac{{{a^2}+{b^2}}}{c^2}$=2．

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦定理，把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系可得c2=2ab•cosC，再利用余弦定理求得要求式子的值．

解答 解：△ABC中，∵tanAtanC+tanBtanC=2tanAtanB，即 $\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$+$\frac{sinBsinC}{cosBcosC}$=2$\frac{sinAsinB}{cosAcosB}$，
即 $\frac{sinC（sinAcosB+cosAsinB）}{cosAcosBcosC}$=2$\frac{sinAsinB}{cosAcosB}$，即 $\frac{sinC•sin（A+B）}{cosC}$=2sinAsinB，即 sin2C=2sinAsinBcosC．
∴c2=2ab•cosC=2ab•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=a2+b2-c2，即 2c2=a2+b2，∴$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{c^2}$=2，
故答案為：2．

點評 本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦定理，把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

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