Question

在數(shù)列中，.從數(shù)列中選出項(xiàng)并按原順序組成的新數(shù)列記為，并稱為數(shù)列的項(xiàng)子列.例如數(shù)列、、、為的一個(gè)項(xiàng)子列.
（1）試寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)項(xiàng)子列，并使其為等差數(shù)列；
（2）如果為數(shù)列的一個(gè)項(xiàng)子列，且為等差數(shù)列，證明：的公差滿足；
（3）如果為數(shù)列的一個(gè)項(xiàng)子列，且為等比數(shù)列，證明：
.

Answer 1

（1）答案不唯一.如項(xiàng)子列，，；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）根據(jù)題中的定義寫(xiě)出一個(gè)項(xiàng)子列即可；（2）對(duì)是否等于進(jìn)行分類討論，結(jié)合條件“為等差數(shù)列”，利用公差推出矛盾，從而得到，再由結(jié)合證明；
（3）注意到數(shù)列各項(xiàng)均為有理數(shù)，從而得到數(shù)列的公比為正有理數(shù)，從而存在、使得，并對(duì)是否等于進(jìn)行分類討論，結(jié)合等比數(shù)列求和公式進(jìn)行證明.
試題解析：（1）答案不唯一.如項(xiàng)子列、、；
（2）由題意，知，
所以.
若，
由為的一個(gè)項(xiàng)子列，得，
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042834995614.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，即.
這與矛盾.
所以.
所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042834995614.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，即，
綜上，得；
（3）由題意，設(shè)的公比為，
則.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042834464450.png" style="vertical-align:middle;" />為的一個(gè)項(xiàng)子列，
所以為正有理數(shù)，且，.
設(shè)，且、互質(zhì)，）.
當(dāng)時(shí)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042835478613.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以
，
，
所以.
當(dāng)時(shí)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240428355721036.png" style="vertical-align:middle;" />是中的項(xiàng)，且、互質(zhì)，
所以，
所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042835447413.png" style="vertical-align:middle;" />，、，
所以.
綜上，.