Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)雙曲線y²-x²=8的焦點(diǎn)，離心率為

3

5

．
（1）求C的方程；  
（2）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為

4

5

的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)，F(xiàn)₁（0，-4），F(xiàn)（0，4），得出b=4，c=3，b=4，即可求解方程．
（2）根據(jù)

x 2 1

25

+

y 2 1

16

=1，

x 2 2

25

+

y 2 2

16

=1，
兩式相減到得

(x1-x2)(x1+x2)

25

+

(y1-y2)(y1+y2)

16

=0，

2

25

x_中+

1

8

y_中=0①，y_中=

4

5

x_中-

12

5

，②聯(lián)立方程求解．

解答： 解：（1）∵雙曲線y²-x²=8的焦點(diǎn)，
∴F₁（0，-4），F(xiàn)（0，4）
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)雙曲線y²-x²=8的焦點(diǎn)，離心率為

3

5

．
∴b=4，a=5，c=3，

x2

25

+

y2

16

=1
∴C的方程：

x2

25

+

y2

16

=1，
（2）

x 2 1

25

+

y 2 1

16

=1，

x 2 2

25

+

y 2 2

16

=1，
兩式相減到得

(x1-x2)(x1+x2)

25

+

(y1-y2)(y1+y2)

16

=0，
化簡(jiǎn)得出：

2

25

x_中+

1

8

y_中=0，①
∵過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為

4

5

的直線，
∴y_中=

4

5

x_中-

12

5

，②
有①②得出；x_中=

5

3

y_中=-

16

15

，
∴中點(diǎn)坐標(biāo)（

5

3

，-

16

15

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的方程，弦的中點(diǎn)問題，整體求解，屬于中檔題．