Question

7．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查：生產(chǎn)某產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本為W（x）萬(wàn)元，在年產(chǎn)量不足8萬(wàn)件時(shí)，W（x）=$\frac{1}{3}$x²+x（萬(wàn)元），在年產(chǎn)量不小于8萬(wàn)件時(shí)，W（x）=6x+$\frac{100}{x}$-38（萬(wàn)元）．通過(guò)市場(chǎng)分析，每件產(chǎn)品售價(jià)為5元時(shí)，生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完．
（1）寫出年利潤(rùn)L（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；
（2）寫出當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)年利潤(rùn)=銷售額-投入的總成本-固定成本，分0＜x＜8和當(dāng)x≥8兩種情況得到L與x的分段函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)0＜x＜8時(shí)根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法來(lái)求L的最大值，當(dāng)x≥8時(shí)，利用基本不等式來(lái)求L的最大值，最后綜合即可．

解答 解：（1）$L（x）=5x-W-3=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{3}{x^2}+4x-3，0＜x＜8\\ 35-x-\frac{100}{x}，x≥8.\end{array}\right.$，
（2）當(dāng)0＜x＜8時(shí)，$L（x）=-\frac{1}{3}{x^2}+4x-3=-\frac{1}{3}{（x-6）^2}+9$，
∴當(dāng)x=6時(shí)，L_max1=9，
當(dāng)x≥8時(shí)，$L（x）=35-x-\frac{100}{x}=35-（x+\frac{100}{x}）≤35-2\sqrt{100}=15$，
當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{100}{x}$，即x=10時(shí)等號(hào)成立，∴L_max2=15，
∵L_max1＞L_max2，
∴當(dāng)總產(chǎn)量達(dá)到10萬(wàn)件時(shí)利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的函數(shù)類型的能力，以及運(yùn)用基本不等式求最值的能力．