Question

（2012•西城區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=

x 1 2 ，     0≤x≤c x2+x，  -2≤x＜0

其中c＞0．那么f（x）的零點是

-1和0

；若f（x）的值域是[-

1

4

，2]，則c的取值范圍是

0＜c≤4

．

Answer 1

分析：分x為正數(shù)和負數(shù)兩種情況討論，分別解方程即可得到么f（x）的零點．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出當x∈[-2，0）時，函數(shù)f（x）的值域恰好是[-

1

4

，2]，所以當0≤x≤c時，f（x）=x

1

2

的最大值不超過2，由此建立不等式，可解出實數(shù)c的取值范圍．

解答：解：當x≥0時，令x

1

2

=0，得x=0；當x＜0時，令x²+x=0，得x=-1（舍零）
∴f（x）的零點是-1和0
∵函數(shù)y=x²+x在區(qū)間[-2，-

1

2

）上是減函數(shù)，在區(qū)間（-

1

2

，0）上是增函數(shù)
∴當x∈[-2，0）時，函數(shù)f（x）最小值為f（-

1

2

）=-

1

4

，最大值是f（-2）=2
∵當0≤x≤c時，f（x）=x

1

2

是增函數(shù)且值域為[0，

c

]
∴當f（x）的值域是[-

1

4

，2]，

c

≤2，即0＜c≤4
故答案為：-1和0      0＜c≤4

點評：本題給出特殊分段函數(shù)，求函數(shù)的零點并在已知值域的情況下求參數(shù)的取值范圍，著重考查了函數(shù)零點的、函數(shù)的值域和二次函數(shù)的單調(diào)性和最值等知識，屬于基礎題．