Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A(n)＝a₁＋a₂＋……＋a_n，B(n)＝a₂＋a₃＋……＋a_n+1，C(n)＝a₃＋a₄＋……＋a_n+2，n＝1，2，……

(1)若a₁＝1，a₂＝5，且對(duì)任意n∈N﹡，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

(2)證明：數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意n∈N^*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)對(duì)任意，三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列，所以 　　 　　即亦即 　　故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列．于是 　　(Ⅱ)(1)必要性：若數(shù)列是公比為ｑ的等比數(shù)列，則對(duì)任意，有 　　由知，均大于0，于是 　　 　　 　　即＝＝，所以三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列． 　　(2)充分性：若對(duì)于任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列， 　　則， 　　于是得即 　　 　　由有即，從而． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60R0/0023/0019/9d75480892693fa8f1a2a716e87add80/C/Image258.gif" width=42 height=24>，所以，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 　　綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意n∈N﹡，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列．

提示：

本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明．第一問(wèn)由等差數(shù)列定義可得；第二問(wèn)要從充分性、必要性兩方面來(lái)證明，利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證．