Question

8．若a+b+c=1，且a，b，c為非負實數(shù)，求證：$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用分析法和基本不等式性質(zhì)證明．

解答 證明：要證$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{3}$，
只需證（$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$）²≤3，展開得a+b+c+2（$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$）≤3，
又因為a+b+c=1，
所以即證$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$≤1．
因為a，b，c為非負實數(shù)，
所以$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$，$\sqrt{bc}$≤$\frac{b+c}{2}$，$\sqrt{ca}$≤$\frac{c+a}{2}$．
三式相加得$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$≤$\frac{2（a+b+c）}{2}$=1，
所以$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$≤1成立．
所以$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$≤3．

點評 本題考查了不等式的證明，掌握不等式的性質(zhì)和證明方法是關(guān)鍵，屬于中檔題．