Question

16．如圖所示，點(diǎn)P在正六邊形ABCDEF上按A→B→C→D→E→F→A的路徑運(yùn)動(dòng)，其中AB=4，則$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$的取值區(qū)間為（　�。�

• A． [-2，6]
• B． [-8，24]
• C． [0，4]
• D． [4，6]

Answer 1

分析 連接AE，可分別以直線AB，AE為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可得到$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$，設(shè)P（x，y），討論P(yáng)點(diǎn)在各邊的位置，確定P的坐標(biāo)范圍．從而得到數(shù)量積范圍．

解答 解：連接AE，則AE⊥AB；
∴分別以直線AB，AE為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：AB=4，設(shè)P（x，y），
∴$\overrightarrow{AB}$=（4，0），$\overrightarrow{AP}$=（x，y），
（1）若P點(diǎn)在邊AB上時(shí)，y=0，0≤x≤4，
∴P（x，0）；
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$=4x，0≤4x≤16；
（2）若P在邊BC上，x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y+4，0≤y≤2$\sqrt{3}$，
∴P（$\frac{\sqrt{3}}{3}$y+4，y），
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}y$+16；
∴16≤$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$≤24；
（3）若P在邊CD上，x=6-$\frac{\sqrt{3}}{3}$y，2$\sqrt{3}$≤y$≤4\sqrt{3}$，
∴P（6-$\frac{\sqrt{3}}{3}$y，y）；
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$=24-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$y，
∴8≤$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$≤16；
（4）若P在邊DE上，0≤x≤4，P（x，y）；
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$=4x；
∴0≤$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$≤16；
（5）若P在邊EF或FA上，-2≤x≤0，P（x，y）；
∴-8≤$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$≤0；
∴綜上得$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$的取值區(qū)間為[-8，24]．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正六邊形的性質(zhì)，以及通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積的方法，討論P(yáng)點(diǎn)在每一邊上時(shí)數(shù)量積的范圍，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．