Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a₃=33，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）．
（1）求a₁，a₂；
（2）證明：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）依次令n=3和n=2，利用遞推思想能求出a₁，a₂．
（2）由已知得${a}_{n}-1=2（{a}_{n-1}-1）+{2}^{n}$，n≥2，由此能證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}為首項是2，公差為1的等差數(shù)列，從而能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₃=33，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），
∴33=2a₂+2³-1，解得a₂=13．
13=2a₁+2²-1，解得a₁=5．
（2）證明：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），
∴${a}_{n}-1=2（{a}_{n-1}-1）+{2}^{n}$，n≥2
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1，n≥2
∵$\frac{{a}_{1}-1}{2}$=$\frac{5-1}{2}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}為首項是2，公差為1的等差數(shù)列．
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=2+（n-1）×1=n+1，
∴${a}_{n}-1=（n+1）•{2}^{n}$，
∴${a}_{n}=（n+1）•{2}^{n}+1$．

點評 本題考查數(shù)列的前兩項的求法，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．