Question

13．在曲線y=x²（x≥0）上某一點(diǎn)A處做一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為$\frac{1}{12}$，則切點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）．

Answer 1

分析 先求切點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a²），故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而得到切線的方程進(jìn)而求得面積的表達(dá)式．建立關(guān)于a的方程解之即得切點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a²），
過(guò)點(diǎn)A的切線的斜率為k=y'|_x=a=2a，
故過(guò)點(diǎn)A的切線l的方程為y-a²=2a（x-a），
即y=2ax-a²，令y=0，得x=$\frac{a}{2}$，
則S=S_△ABO-S_△ABC=-（$\frac{1}{2}$•$\frac{a}{2}$•a²-${∫}_{0}^{a}$x²dx）=$\frac{{a}^{3}}{12}$=$\frac{1}{12}$，
∴a=1，
∴切點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），
故答案為：（1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、定積分的應(yīng)用、直線的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．