Question

已知函數(shù)f(x)=

4x

3x2+3

，x∈[0，2]．
（1）求f（x）的值域；
（2）設(shè)a≠0，函數(shù)g(x)=

1

3

ax3-a2x，x∈[0，2]．若對(duì)任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₂）=0．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于求出x的值，然后由x的值，分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值和最小值即可得到f（x）的值域；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）在[0，2]上的值域是A，根據(jù)題意對(duì)任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₂）=0，得到區(qū)間[0，2]是A的子集，求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，分a小于0和a大于0兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值和最小值，即可得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間的值域，根據(jù)區(qū)間[0，2]是A的子集判斷出符合這一條件的情況，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到滿足題意a的取值范圍．

解答：解：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，f′(x)=

4

3

•

1-x2

(x2+1)2

．
令f'（x）=0得x=1或x=-1．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減．
又f(0)=0，f(1)=

2

3

，f(2)=

8

15

，
所以當(dāng)x∈[0，2]，f（x）的值域是[0，

2

3

]；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）在[0，2]上的值域是A．
∵對(duì)任意x₁∈[0，2]，總存在x₀∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₀）=0，
∴[0，

2

3

]⊆A．
對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)，g'（x）=ax²-a²．
 ①當(dāng)a＜0時(shí)，若x∈（0，2），g'（x）＜0，所以函數(shù)g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減．
∵g(0)=0，g(2)=

8

3

a-2a2＜0，
∴當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，不滿足[0，

2

3

]⊆A；
 ②當(dāng)a＞0時(shí)，g′(x)=a(x-

a

)(x+

a

)．
令g'（x）=0，得x=

a

或x=-

a

（舍去）．
（i）當(dāng)x∈[0，2]，0＜

a

＜2時(shí)，列表：

∵g(0)=0，g(

a

)＜0，
又∵[0，

2

3

]⊆A，∴g(2)=

8

3

a-2a2≥

2

3

，解得

1

3

≤a≤1．
（ii）當(dāng)x∈（0，2），

a

≥2時(shí)，g'（x）＜0，∴函數(shù)在（0，2）上單調(diào)遞減，
∵g（0）=0，∴g(2)=

8

3

a-2a2＜0∴當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，不滿足[0，

2

3

]⊆A．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

1

3

，1]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，靈活運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，是一道綜合題．