Question

6．根據(jù)國(guó)家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米．我市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一居民區(qū)2016年20天PM2.5的24小時(shí)平均濃度（單位：微克/立方米）的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：

組別	PM2.5濃度 （微克/立方米）	頻數(shù)（天）	頻率
第一組	（0，25]	3	0.15
第二組	（25，50]	12	0.6
第三組	（50，75]	3	0.15
第四組	（75，100]	2	0.1

（1）將這20天的測(cè)量結(jié)果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖．
①求圖4中a的值；
②求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善？并說明理由．
（2）將頻率視為概率，對(duì)于2016年的某3天，記這3天中該居民區(qū)PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）①a=0.004．②2016年該居民區(qū)PM2.5的年平均濃度=12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1，與35比較即可判斷出結(jié)論．
（2）由題意可得：PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的概率為0.9，X的可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=${∁}_{3}^{k}（0.1）^{3-k}（0.9）^{k}$．

解答 解：（1）①a=0.004．②2016年該居民區(qū)PM2.5的年平均濃度=12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米），∵42.5＞35，∴2016年該居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民取的環(huán)境需要改進(jìn)．
（2）由題意可得：PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的概率為0.9，X的可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=${∁}_{3}^{k}（0.1）^{3-k}（0.9）^{k}$，可得P（X=0）=0.001，P（X=1）=0.027，P（X=2）=0.243，
P（X=3）=0.729．
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.001	0.027	0.243	0.729

E（X）=0×0.001+1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7，或E（X）=3×0.9=2.7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)及其應(yīng)用、二項(xiàng)分布列的概率計(jì)算公式及其數(shù)學(xué)期望，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．