Question

已知命題p：在區(qū)間[-1，1]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使不等式x²+ax-2＞0成立；命題q：方程sinx•cosx=a+2，x∈（0，

3

4

π]有兩個(gè)解．若命題“p或q”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出命題p，q的等價(jià)條件，然后利用命題“p∨q”是真命題，則命題P、q至少一個(gè)為真命題，求a的取值范圍．

解答：解：由于在區(qū)間[-1，1]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，不等式x²+ax-2＞0成立；
令f（x）=x²+ax-2，則f（1）＞0或f（-1）＞0
解得：a＜-1或a＞1，
∴命題p為真命題時(shí)，a＜-1或a＞1；
∵a+2=

1

2

sin2x，x∈（0，

3

4

π]有兩個(gè)解，
∴0＜a+2＜

1

2

，解得：-2＜a＜-

3

2

∴命題q為真命題時(shí)，-2＜a＜-

3

2

由于命題“p或q”是真命題，根據(jù)復(fù)合命題真值表，命題p、q至少一個(gè)為真命題，
①當(dāng)命題p為真命題q為假命題時(shí)，a≤-2或-

3

2

≤a＜-1或a＞1；
②當(dāng)命題p為假命題q為真命題時(shí)，a無解；
③當(dāng)命題p為真命題也為真命題時(shí)，a＜-1或a＞1；
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：a＜-1或a＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題的與簡(jiǎn)單命題的真假應(yīng)用，將命題進(jìn)行等價(jià)化簡(jiǎn)是解決此類問題的關(guān)鍵．