Question

14．等比數列{a_n}中，S₃=7，S₆=63．
（1）求a_n；
（2）記數列{S_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根據等比數列的前n項和公式建立方程組求出首項和公比即可求a_n；
（2）先求出S_n的表達式，結合等比數列的前n項和公式進行求解即可．

解答 解：（1）若q=1，則S₆=2S₃，與已知矛盾，所以q≠1．…（2分）
則$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{3}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=7}\\{{S}_{6}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}=63}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$，即a_n=2^n-1．
（2）由（1），求得${S_n}={2^n}-1$，…（9分）
于是${T_n}={2^1}-1+{2^2}-1+…+{2^n}-1$=$\frac{{2（{1-{2^n}}）}}{1-2}-n={2^{n+1}}-n-2$…（14分）

點評 本題主要考查等比數列的通項公式以及求和公式的應用，考查學生的運算能力．