已知△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且：sinA+sinB-3sinC=0，a+b+c=4．
（1）求邊長(zhǎng)c的值；
（2）若△ABC的面積S=1-
1
9
（a2+b2）；
求：①sinC的值；②
a2+b2
asinA+bsinB
的值．
分析：（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的第一個(gè)等式，得到a+b=3c，代入第二個(gè)等式中計(jì)算，即可求出c的長(zhǎng)；
（2）①利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積S，代入已知的等式中，利用完全平方公式變形后，將a+b=3代入化簡(jiǎn)，即可求出sinC的值；
②由正弦定理列出關(guān)系式，變形后利用合比性質(zhì)化簡(jiǎn)，即可求出所求式子的值．
解答：解：（1）∵sinA+sinB-3sinC=0，
∴a+b-3c=0，即a+b=3c，
∵a+b+c=4，
∴4c=4，即c=1；
（2）①∵S=
1
2
absinC=1-
1
9
（a2+b2）=1-
(a+b)2-2ab
9
=
2ab
9
，
∴sinC=
4
9
；
②
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=
9
4
，
∴
a2
asinA
=
b2
bsinB
=
9
4
，
∴
a2+b2
asinA+bsinB
=
9
4
．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，完全平方公式的運(yùn)用，以及比例的性質(zhì)，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，AH為BC邊上的高，以下結(jié)論：①
AH
•(
AC
-
AB
)=0；
②
AB
•
BC
＜0⇒△ABC為鈍角三角形；
③
AC
•
AH
|
AH
|
=csinB；
④
BC
•(
AC
-
AB
)=a2，其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且滿(mǎn)足b+c=
3
a，設(shè)
m
=[cos（
π
2
+A），-1]，
n
=（cosA-
5
4
，-sinA），
m
∥
n
，試求角B的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．
（1）證明：
a+b
2a+b
＞
c
a+c
；
（2）證明：不論x取何值總有b2x2+（b2+c2-a2）x+c2＞0；
（3）若a＞c≥2，證明：
1
a+c+1
-
1
(c+1)(a+1)
＜
1
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c且角A，B、C成等差數(shù)列，△ABC的面積S=
b2-(a-c)2k
，則實(shí)數(shù)k的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=
2
，向量
m
=(-1，1)，
n
=(cosBcosC，sinBsinC-
2
2
)，且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求A的大��；
（Ⅱ）當(dāng)sinB+cos(
7π
12
-C)取得最大值時(shí)，求角B的大小和△ABC的面積．

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