Question

求函數(shù)f（x）=lgsinx+

2 cosx-1

的定義域．

Answer 1

分析：由對數(shù)式的真數(shù)大于0，根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0聯(lián)立不等式組，然后分別求解兩個三角不等式，其交集即為函數(shù)的定義域．

解答：解：法一、要使原函數(shù)有意義，則

sinx＞0            ① 2 cosx-1≥0②

，
解①得：2kπ＜x＜2kπ+π（k∈Z），
解②得：cosx≥

2

2

，即2kπ≤x≤2kπ+

π

4

，或-

π

4

+2kπ≤x≤2kπ（k∈Z）．
取交集得：2kπ＜x≤2kπ+

π

4

（k∈Z）．
所以，函數(shù)f（x）的定義域為{x|2kπ＜x≤2kπ+

π

4

，k∈Z}．
法二、要使原函數(shù)有意義，則

sinx＞0            ① 2 cosx-1≥0②

，
先在[0，2π）內(nèi)考慮x的取值，由①得x∈（0，π），
由②得x∈[0，

π

4

]∪[

7

4

π，2π]．  
取交集得x∈（0，

π

4

]．
由f(2π+x)=lgsin(2π+x)+

2 cos(2π+x)-1

=lgsinx+

2 cosx-1

=f（x）．
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，
所以在實數(shù)集內(nèi)滿足不等式組的x的取值集合為∈（2kπ，2kπ+

π

4

]（k∈Z）．
所以，函數(shù)f（x）的定義域為{x|2kπ＜x≤2kπ+

π

4

，k∈Z}．

點評：本題考查了函數(shù)定義域及其求法，考查了三角不等式的求解方法，訓(xùn)練了交集及其運算，屬基礎(chǔ)題型．